Question

19．如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD的中点，且直线AQ与BP的交点在椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞0）上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，T为椭圆E的上顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，求梯形ORMT面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，整理即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）由${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，则四边形面积$S=\frac{1}{2}×2×{y_0}+\frac{1}{2}×1×{x_0}=\frac{{\sqrt{4-x_0^2}}}{2}+\frac{x_0}{2}≤\sqrt{\frac{4-x_0^2+x_0^2}{2}}=\sqrt{2}$，即可求得梯形ORMT面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设AQ于BP交点C为（x，y），P（-2，y₁），Q（x₁，2），
由题可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，（4分）
从而有$\frac{-4y}{x-2}=\frac{x+2}{y}$，整理得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即为椭圆方程，
椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；（6分）
（Ⅱ）R（2，0），设M（x₀，y₀），由${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，（8分）
从而所求四边形面积$S=\frac{1}{2}×2×{y_0}+\frac{1}{2}×1×{x_0}=\frac{{\sqrt{4-x_0^2}}}{2}+\frac{x_0}{2}≤\sqrt{\frac{4-x_0^2+x_0^2}{2}}=\sqrt{2}$，（10分）
当且仅当${x_0}=\sqrt{2}，{y_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$取得最大值，
梯形ORMT面积的最大值$\sqrt{2}$．（12分）

点评 本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查基本不等式的性质，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题．