Question

8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移$\frac{7π}{24}$个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，θ}]$（$θ＞-\frac{π}{3}$）上的值域为[-1，2]，则θ=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的值．．

解答 解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）的部分图象，
可得A=-2，$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{8}-\frac{π}{8}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{3π}{8}$+φ=π，∴φ=$\frac{π}{4}$，f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
将函数f（x）的图象向右平移$\frac{7π}{24}$个单位后得到函数g（x）=-2sin（2x-$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
对于函数y=g（x），当x∈$[{-\frac{π}{3}，θ}]$（$θ＞-\frac{π}{3}$），2x-$\frac{π}{3}$∈[-π，2θ-$\frac{π}{3}$]，
由于g（x）的值域为[-1，2]，故-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的最小值为-1，此时，2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
则θ=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．