Question

10．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V．现有..三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制V指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．
（Ⅰ）求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；
（Ⅱ）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率．
（Ⅱ）求出A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，即X～B（3，0.3），由此能求出X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为：
$P=P（A\overline B\overline C）+P（\overline AB\overline C）+P（\overline A\overline BC）$
=0.5×（1-0.6）×（1-0.75）+（1-0.5）×0.6×（1-0.75）+（1-0.5）×（1-0.6）×0.75=0.275．
（Ⅱ）∵A有治疗效果的概率为P_A=0.5×0.6=0.3，
B有治疗效果的概率为P_B=0.6×0.5=0.3，
C有治疗效果的概率为P_C=0.75×0.4=0.3，
∴A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，即X～B（3，0.3），
∵X的可能取得为0，1，2，3，
∴$P（X=k）=C_3^k×{0.3^k}×{（1-0.3）^{3-k}}$，
即$P（X=0）=C_3^0×{0.3^0}×{（1-0.3）^3}=0.343$，
$P（X=1）=C_3^1×0.3×{（1-0.3）^2}=0.441$，
$P（X=2）=C_3^2×{0.3^2}×（1-0.3）=0.189$，
$P（X=3）=C_3^3×{0.3^3}=0.027$
故X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、二项分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．