Question

11．已知f（x）=ax²-2x+1-a，a∈R．g（log₂x）=f（x）
（1）对-切x∈R，均有f（x）≤2x+6恒成立，求实数a的取值范围
（2）求g（x）的解析式并求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得ax²-4x-5-a≤0恒成立，对a讨论，结合判别式非负，解不等式即可得到所求范围；
（2）令t=log₂x，则x=2^t，即有g（t）=a•4^t-2•2^t+1-a，可得g（x）的解析式；讨论a=0，a＞0，a＜0，由指数函数的值域和二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性，可得所求值域．

解答 解：（1）对-切x∈R，均有f（x）≤2x+6恒成立，
即为ax²-4x-5-a≤0恒成立，
显然a=0时，-4x-5不恒小于等于0，不成立；
当a＜0，判别式△≤0，即有16+4a（a+5）≤0，
解得-4≤a≤-1，
当a＞0，不等式不恒成立．
综上可得a的范围是[-4，-1]；
（2）g（log₂x）=f（x）=ax²-2x+1-a，
令t=log₂x，则x=2^t，
即有g（t）=a•4^t-2•2^t+1-a，
则g（x）=a•4^x-2•2^x+1-a，
当a=0时，g（x）=-2•2^x+1＜1；
当a＞0时，令m=2^x，（m＞0），
g（x）=am²-2m+1-a，对称轴为m=$\frac{1}{a}$＞0，
即有g（x）在对称轴处取得最小值，且为$\frac{a-{a}^{2}-1}{a}$；
当a＜0时，对称轴为m=$\frac{1}{a}$＜0，g（m）在区间（0，+∞）递减，
可得g（x）∈（-∞，1-a）．
综上可得，当a=0时，g（x）的值域为（-∞，1）；
当a＞0时，g（x）的值域为[$\frac{a-{a}^{2}-1}{a}$，+∞）；
当a＜0时，g（x）的值域为（-∞，1-a）．

点评 本题考查二次函数的性质和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用判别式，考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查函数的值域的求法，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，属于中档题．