题目内容
在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，动直线MN过AD的中点O，
=
，
=
，
=m
，
=n
，则m+2n的最小值为 ．
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| AN |
| a |
| AM |
| b |
考点：平面向量的基本定理及其意义,向量的线性运算性质及几何意义
专题：平面向量及应用
分析：画出图形，如图所示．由于M，O，N三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
，又
=m
，
=n
，
=
．代入可得
=2λm
+2n(1-λ)
．（*）另一方面：点D为边BC上靠近B点的三等分点，可得
=
+
=
+
．与（*）比较可得：
，消去λ化为
+
=6．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
| AO |
| AN |
| AM |
| AN |
| a |
| AM |
| b |
| AO |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AD |
| a |
| b |
| AD |
| AB |
| BD |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
|
| 2 |
| m |
| 1 |
| n |
解答：
解：画出图形，如图所示
．
∵M，O，N三点共线，∴存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
，
∵
=
，
=
，
=m
，
=n
，
=
．
∴
=λm
+n(1-λ)
，即
=2λm
+2n(1-λ)
．（*）
∵点D为边BC上靠近B点的三等分点，
∴
=
+
=
+
=
+
(
-
)=
+
=
+
．
与（*）比较可得：
，消去λ化为
+
=6．
∵m，n＞0，
∴m+2n=
(
+
)(m+2n)=
(4+
+
)≥
(4+2
)=
，当且仅当m=2n=
时取等号．
∴m+2n的最小值为
．
故答案为：
．
．∵M，O，N三点共线，∴存在实数λ使得
| AO |
| AN |
| AM |
∵
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| AN |
| a |
| AM |
| b |
| AO |
| 1 |
| 2 |
| AD |
∴
| 1 |
| 2 |
| AD |
| a |
| b |
| AD |
| a |
| b |
∵点D为边BC上靠近B点的三等分点，
∴
| AD |
| AB |
| BD |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| BC |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
与（*）比较可得：
|
| 2 |
| m |
| 1 |
| n |
∵m，n＞0，
∴m+2n=
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| m |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 6 |
| m |
| n |
| 4n |
| m |
| 1 |
| 6 |
|
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴m+2n的最小值为
| 4 |
| 3 |
故答案为：
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查了向量的共线定理、共面向量基本定理、向量的三角形法则、“乘1法”和基本不等式，考查了推理能力和技能数列，属于难题．
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