题目内容

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1和AB上的点，则下列说法正确的是
 
．（填上所有正确命题的序号）
①A1C⊥平面B1CF；
②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；
③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；
④当E，F为中点时，EF与平面BCC1B1所成角的正切值为
5
5
；
⑤当E，F为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则AP=
2
3
．
考点：棱柱的结构特征
专题：应用题
分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可得到答案．
解答： 解：对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．
对于②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；
对于③△B1EF在侧面BCC1B1上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；
对于④EF与平面BCC1B1所成角等于EF与平面A1D1DA所成角，连接EA，则∠FEA为EF与平面A1D1DA所成角，tan∠FEA=
AF
AE
=
5
5
；故正确．
对于⑤，当E，F为中点时平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形B1QEPF，
由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=
1
4
，B1Q∥PF，故AP=
2
3
，故正确．
综上所述，说法正确的是②③④⑤
故答案为：②③④⑤
点评：本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，涉及到的知识点较多，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为
6
3
，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且
AP
•
AQ
=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AP的斜率为1，求直线PQ的方程；
（3）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．
已知⊙O的弦AB=6，点P为AB上一点，且AP：PB=2：1，若OP=
5
，则⊙O的半径为
 
．
若双曲线
x2
4
-
y2
21
=1上的点P到一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为
 
．
已知tanα=
3
3
，则sin2α的值为
 
．
在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，动直线MN过AD的中点O，
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AN
=m
a
，
AM
=n
b
，则m+2n的最小值为
 
．
等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=0，S10=50，则nSn的最小值为
 
．
已知复数z满足az-i=a2（a∈R），则|z|的最小值为
 
．
已知函数f（x）定义域为D，若?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边长，则称f（x）为定义在D上的“保三角函数”，以下说法正确的是
 
．
①f（x）=1（x∈R）不是R上的“保三角函数”
②若定义在R上的函数f（x）的值域为[
2
，2]，则f（x）一定是R上的“保三角函数”
③f（x）=
1
x2+1
使其定义域上的“保三角函数”
④当t＞1时，函数f（x）=ex+t一定是[0，1]上的“保三角函数”

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