Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（1）求f（x）的定义域
（2）证明f（x）为奇函数
（3）求使f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的性质

专题：计算题,证明题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出对数的真数大于0，即可得到f（x）的定义域；
（2）判断定义域关于原点对称，计算f（-x），判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到；
（3）讨论a＞1，0＜a＜1，列出不等式组，解出即可得到．

解答： （1）解：由

1+x

1-x

＞0得函数的定义域为（-1，1）；
（2）证明：由于定义域关于原点对称，
f（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a（

1+x

1-x

）^-1=-log_a

1-x

1+x

=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
（3）解：由题意：当0＜a＜1时，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

 解得0＜x＜1； 
当a＞1时，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

  解得-1＜x＜0．
综上，当0＜a＜1时，0＜x＜1；  当a＞1时，-1＜x＜0．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，同时考查对数不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．