Question

将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，设复数z=a+bi．
（1）设事件A：“z-3i为实数”，求事件A的概率；
（2）当“|z-2|≤3”成立时，令ξ=a+b，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）依题意，b可取1，2，3，4，5，6，可得出现b=3的概率为

1

6

，
（2）分类讨论当b=1时，（a-2）²≤8，即a可取1，2，3，4
当b=2时，（a-2）²≤5，即a可取1，2，3，4当b=3时，（a-2）²≤0，即a可取2，可判断答案．

解答： 解：（1）z-3i为实数，即a+bi-3i=a=（b-3）i为实数，∴b=3，
又依题意，b可取1，2，3，4，5，6，故出现b=3的概率为

1

6

，
即事件“z-3i为实数”的概率为

1

6

；
（2）由已知，|z-2|=|a-2+bi|=

(a-2)+b2

≤3，
可知，b的值只能取1、2、3，
当b=1时，（a-2）²≤8，即a可取1，2，3，4
当b=2时，（a-2）²≤5，即a可取1，2，3，4
当b=3时，（a-2）²≤0，即a可取2，
由上可知，ξ=2、3、4、5，6
ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6
p	1 9	2 9	2 9	1 3	1 9

E_ξ=

2

9

+

6

9

+

8

9

+

15

9

+

6

9

=

37

9

．

点评：本题考查了离散型的概率分布，与数学期望，属于中档题，关键是分类求解判断．