Question

用部分自然数构造如图的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N₊），使得a_i1=a_ii=i，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．设第n（n为N₊）行的第二个数为b_n（n≥2），
（1）写出第6行的第三个数；
（2）写出b_n+1与b_n的关系并求b_n（n≥2）；
（3）设（b_n-1）c_n=1（n≥2），求证：1≤c₂+c₃+…+c_n＜2．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：等差数列与等比数列,推理和证明

分析：（1）根据已知中图象，可得第6行的第三个数．
（2）根据a_i1=a_ii=i，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．可得b_n+1=b_n+n，利用．
（3）由（2）可得c_n=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），结合裂项相消法，可得答案．

解答： 解：（1）由已知中的图象可得：
第6行的第三个数为25；
（2）由已知得b_n+1=b_n+n，
∴b_n+1-b_n=n，
∴b_n-b_n-1=n-1，
b_n-1-b_n-2=n-2，
…，
b₃-b₂=2，
b₂-b₁=1，
累加得：
b_n-b₁=n-1+n-2+…+2+1=

n(n-1)

2

，
又∵b₁=1，
∴b_n=

n(n-1)

2

+1
证明：（3）∵（b_n-1）c_n=1，即

n(n-1)

2

c_n=1，
∴c_n=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），
∴c₂+c₃+…+c_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=2（1-

1

n

），
∵n≥2，
∴0＜

1

n

≤

1

2

，
∴1≤c₂+c₃+…+c_n＜2．

点评：本题考查的知识点是归纳推理，裂项相消法求和，是数列的推理和证明的综合应用，难度不大，属于基础题．