Question

已知函数f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的值域和最小正周期；
（Ⅱ）设α∈（0，π），且f（α）=1，求α的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据正弦函数的性质和周期公式直接即可求解．
（Ⅱ）由已知可得sin（2α-

π

4

）=

2

2

，从而解得2α-

π

4

=2kπ+

π

4

或2α-

π

4

=2kπ+π-

π

4

，k∈Z，由α∈（0，π），即可求α的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∵sin（2x-

π

4

）∈[-1，1]
∴

2

2

sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]
∴

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∈[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]，即f（x）的值域为：[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]．
（Ⅱ）∵f（α）=

2

2

sin（2α-

π

4

）+

1

2

=1，
∴sin（2α-

π

4

）=

2

2

∴2α-

π

4

=2kπ+

π

4

或2α-

π

4

=2kπ+π-

π

4

．k∈Z
∵α∈（0，π），
∴可解得：α=

π

4

或

π

2

．

点评：本题主要考查了正弦函数的图象与性质，解题时注意角的取值范围，不要丢根，属于中档题．