Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-

x(1+λx)

1+x

，若x≥0时，f（x）≤0，则λ的最小值为（　　）

• A、0
• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值．

解答： 解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）=

(1-2λ)x-λx2

(1+x)2

，且f′（0）=0，
若λ＜

1

2

，则当0＜x＜2（1-2λ）时，f′（x）＞0，所以当0＜x＜2（1-2λ）时，f（x）＞0，
若λ≥

1

2

，则当x≥0时，f′（x）≤0，所以当x≥0时，f（x）≤0，
综上，λ的最小值为

1

2

．
故选：B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．