已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1+m}\end{array}\right.$在定义域[0.+∞)上单调递增.且对于任意a≥0.方程f(x)=a有且只有一个实数解.则函数g-x在区间[0.2n](n∈N*)上所有零点的和为( )A．$\frac{n(n+1)}{2}$B．22n-1+2n-1C．$\frac{^{2}}{2}$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定义域[0，+∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）=a有且只有一个实数解，则函数g（x）=f（x）-x在区间[0，2ⁿ]（n∈N^*）上所有零点的和为（　　）

A．

$\frac{n（n+1）}{2}$

B．

2^2n-1+2^n-1

C．

$\frac{（1+{2}^{n}）^{2}}{2}$

D．

2ⁿ-1

分析函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定义域[0，+∞）上单调递增，对于任意a≥0，方程f（x）=a有且只有一个实数解，可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定义域[0，+∞）上单调递增，且图象连续，即m=1
其图象如下：函数g（x）=f（x）-x在区间[0，2ⁿ]（n∈N^*）上所有零点分别为0，1，2，3，…2ⁿ，根据等差数求和公式求解．

解答解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定义域[0，+∞）上单调递增，∴m≥1，
由因为对于任意a≥0，方程f（x）=a有且只有一个实数解，∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x≤1）}\\{f（x-1）+m（x＞1）}\end{array}\right.$在定义域[0，+∞）上单调递增，且图象连续，所有m=1
其图象如下：函数g（x）=f（x）-x在区间[0，2ⁿ]（n∈N^*）上所有零点分别为0，1，2，3，…2ⁿ，
∴所有零点的和等于$\frac{{2}^{n}（1+{2}^{n}）}{2}={2}^{n-1}+{2}^{2n-1}$．
故选：B．