Question

10．某旅游景区对景区内宾馆每个月人住的游客人数进行统计，发现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；
②入住宾馆的游客人数在2月份最少，约为200人，随后逐月递增直到8月份达到最多，约为800人．若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系可以用一个正弦型三角函数来描述，
（1）请求出这个函数的解析式；
（2）请问哪几个月份入住宾馆的游客人数达到650人以上？

Answer 1

分析 （1）根据①，可知函数的周期是12；根据②可知，f（2）最小，f（8）最大，f（x）在[2，8]上单调递增，由此可得函数解析式；
（2）由条件知，300sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500≥650，结合x∈N^*，1≤x≤12，即可得到结论．

解答 解：（1）设该函数为f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）
根据①，可知函数的周期是12，
∴$\frac{2π}{ω}$=12，
∴ω=$\frac{π}{6}$；
根据②可知，f（2）=200最小，f（8）=800最大，且f（8）-f（2）=600，
故该函数的振幅A=300；B=$\frac{200+800}{2}$=500
又由sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=-1，sin（8×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
∵0＜|φ|＜π，
∴φ=-$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）=300sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500；
（2）由条件知，300sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500≥650，化简可得sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$）+500≥$\frac{1}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z
∴12k+6≤x≤12k+10，k∈Z
∵x∈N^*，1≤x≤12
∴x=6，7，8，9，10
∴只有6，7，8，9，10五个月份游客人数达到650人以上．

点评 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．解题的技巧是从问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．