Question

2．已知函数f（x）=x³-ax²+3x+6
（Ⅰ）若f（x）在[-$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x=3是f（x）的一个极值点，求f（x）在[0，a]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，利用$f'（x）在[-\frac{1}{3}，+∞]$上恒有f'（x）≥0，转化为$3{x^2}-2ax+3≥0在[-\frac{1}{3}，+∞）$上恒成立，①△≤0，②$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ \frac{a}{3}＜-\frac{1}{3}\\ f'（-\frac{1}{3}）≥0\end{array}\right.$，求解即可．
（Ⅱ）依题意，f'（3）=0，求出a，然后求解极值点，判断导函数的符号，然后求解最值．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+3∵$f（x）在[-\frac{1}{3}，+∞]$上是增函数，
∴$f'（x）在[-\frac{1}{3}，+∞]$上恒有f'（x）≥0，
即$3{x^2}-2ax+3≥0在[-\frac{1}{3}，+∞）$上恒成立…（2分）
则有
①△≤0，解得-3≤a≤3…（4分）
②$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ \frac{a}{3}＜-\frac{1}{3}\\ f'（-\frac{1}{3}）≥0\end{array}\right.$
解得-5≤a＜-3
综上-5≤a≤3…（6分）
（Ⅱ）依题意，f'（3）=0，
即3•9-6a+3=0∴a=5，∴f（x）=x³-5x²+3x+6…（8分）
令f'（x）=3x²-10x-3=0．
得${x_1}=\frac{1}{3}，{x_2}=3$，则
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	0	（0，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，3）	3	（3，5）	5
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	6	↗	$6\frac{13}{27}$	↘	-3	↗	21

…（11分）
∴f（x）在[0，5]上的最大值是f（5）=21，最小值是f（3）=-3．…（12分）

点评 本题考查函数的最值的求法，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．