Question

17．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，E为棱AA₁上一点，且C₁E⊥平面BDE．
（I）求直线BD₁与平面BDE所成角的正弦值；
（II）求二面角C-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 如图空间直角坐标系D=xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），C₁（0，1，2），E（1，0，a）
（1）由C₁E⊥平面BDE．得$\overrightarrow{E{C}_{1}}•\overrightarrow{DE}=-1+（2-a）a=0$，解得a=1
设直线BD₁与平面BDE所成角为θ，sinθ=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}B}•\overrightarrow{E{C}_{1}}}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}||\overrightarrow{E{C}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）得面BDE的法向量为$\overrightarrow{E{C}_{1}}（-1，1，1）$．求出面CBE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，利用向量夹角公式求解．

解答 解：如图建立空间直角坐标系D=xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），C₁（0，1，2），E（1，0，a）
（1）$\overrightarrow{E{C}_{1}}=（-1，1，2-a）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{DE}=（1，0，a）$
∵C₁E⊥平面BDE．∴$\overrightarrow{E{C}_{1}}⊥\overrightarrow{DE}$，即$\overrightarrow{E{C}_{1}}•\overrightarrow{DE}=-1+（2-a）a=0$，解得a=1
设直线BD₁与平面BDE所成角为θ．
$\overrightarrow{E{C}_{1}}=（-1，1，1），\overrightarrow{{D}_{1}B}=（1，1，-2）$
sinθ=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}B}•\overrightarrow{E{C}_{1}}}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}||\overrightarrow{E{C}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）得面BDE的法向量为$\overrightarrow{E{C}_{1}}（-1，1，1）$．
设面CBE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{CB}=（1，0，0），\overrightarrow{BE}=（0，-1，1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-y+z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$
∴$cos＜\overrightarrow{E{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{E{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{E{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴二面角C-BE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$
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点评 本题考查了空间线面位置关系，向量法处理垂直关系，向量法求空间角，属于中档题，