Question

14．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知3asinC=ccosA．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{4}$，△ABC的面积为9，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得2sinAsinC=sinCcosA，由于sinC≠0，可求tanA=$\frac{1}{3}$，且A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求可得cosA，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，由正弦定理可得c=2$\sqrt{2}$a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
（Ⅰ）∵3asinC=ccosA．
∴2sinAsinC=sinCcosA，…2分
∵sinC≠0，
∴tanA=$\frac{1}{3}$，且A为锐角，…4分
∴sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，c=2$\sqrt{2}$a，
∵S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}a×2\sqrt{2}a×\frac{\sqrt{2}}{2}$=a²=9，
∴a=3．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．