题目内容
已知等式cosα•cos2α=
，cos•cos2α•cos4α=
，…．
（1）请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式；
（2）试用数学归纳法证明你写出的等式．
| sin4α |
| 4sinα |
| sin8α |
| 8sinα |
（1）请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式；
（2）试用数学归纳法证明你写出的等式．
考点：数学归纳法,归纳推理
专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法
分析：（1）分析两边三角的函数名称及各个角的构成及关系，进行归纳写出即可；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．
（2）利用数学归纳法的证明步骤，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．
解答：
（1）解：cosα•cos2α•…•cos 2n-1α=
n∈N，n≥2（n换成其他字母也对）．
（2）证明：当n=2时，显然成立．
假设当n=k时，cosα•cos2α…cos2k-1α=
成立，
那么，当n=k+1时，
cosα•cos2α…cos2k-1α•cos2kα=
•cos2kα=
?．
即当n=k+1时，等式也成立．
由（1），（2）得cosα•cos2α•…•cos 2n-1α=
（n∈N，n≥2）成立．
| sin2nα |
| 2nsinα |
（2）证明：当n=2时，显然成立．
假设当n=k时，cosα•cos2α…cos2k-1α=
| sin2kα |
| 2ksinα |
那么，当n=k+1时，
cosα•cos2α…cos2k-1α•cos2kα=
| sin2kα |
| 2ksinα |
| sin2k+1α |
| 2k+1sinα |
即当n=k+1时，等式也成立．
由（1），（2）得cosα•cos2α•…•cos 2n-1α=
| sin2nα |
| 2nsinα |
点评：本题考查合情推理的能力，善于寻找数字规律，是解决数字型归纳推理的共同点，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．
练习册系列答案
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| A、2种 | B、3种 | C、5种 | D、6种 |