Question

18．己知函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a是奇函数．
（1）求a的值；
（2）解不等式：f（2x²-1）+f（x+1）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用函数为奇函数，在x=0有意义，则f（0）=0求a；
（2）利用函数是奇函数，并且判定它的单调性，得到自变量的关系求解．

解答 解：（1）因为函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a是奇函数，并且定义域为R，所以f（0）=0，即1+a=0，所以a=-1．
（2）f（2x²-1）+f（x+1）＜0．所以f（2x²-1）＜-f（x+1）．
由（1）得函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+1是奇函数，所以f（2x²-1）＜f（-x-1）．
又因为函数为单调减函数，所以2x²-1＞-x-1，即2x²+x＞0，
解得x＞0或x＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了奇函数的性质以及利用函数的单调性和奇偶性解不等式；关键是利用函数的性质将所求转化为自变量的关系．