Question

8．设m，n∈R⁺，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则mn的最小值是（　　）

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$+3
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 根据圆心到切线的距离等于半径建立关系（m-1）（n-1）=2，然后借助于基本不等式求解即可．

解答 解：由直线与圆相切可知|m+n|=$\sqrt{（m+1）^{2}+（n+1）^{2}}$，整理得（m-1）（n-1）=2，
∴m+n=mn-1≥2$\sqrt{mn}$，
∴$\sqrt{mn}$≥$\sqrt{2}$+1，
∴mn≥3+2$\sqrt{2}$
当且仅当m=n时等号成立，
∴mn的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题借助基本不等式考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．