Question

18．已知x∈[-1，0]，θ∈[0，2π），二元函数$f（x，θ）=\frac{1+cosθ+x}{1+sinθ-x}$取最小值时，x=x₀，θ=θ₀则（　　）

• A． 4x₀+θ₀=0
• B． 4x₀+θ₀＜0
• C． 4x₀+θ₀＞0
• D． 以上均有可能．

Answer 1

分析 令t=1+sinθ-x，可得x=1+sinθ-t，由辅助角公式和正弦函数的值域，结合函数的单调性，即可得到所求最小值的
x₀，θ=θ₀的值．

解答 解：令t=1+sinθ-x，
可得x=1+sinθ-t，
即有二元函数$f（x，θ）=\frac{1+cosθ+x}{1+sinθ-x}$
=$\frac{1+cosθ+1+sinθ-t}{t}$=$\frac{2+sinθ+cosθ}{t}$-1，
由2+sinθ+cosθ=2+$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，
可得二元函数为减函数，
当t取得最大值时，函数取得最小值，
即有sinθ=1，即θ=$\frac{π}{2}$；由x∈[-1，0]，
可得x=-1，即有t取得最大值3．
则x₀=-1，θ₀=$\frac{π}{2}$，
则4x₀+θ₀=$\frac{π}{2}$-4＜0，
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．