Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，求证：PF=

1

3

PB．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：建立空间直角坐标系，利用EF⊥PB和F在PB上，得到向量垂直和共线，得到F的坐标，进一步得到

PF

=

1

3

PB

，从而得证．

解答： 证明：建立坐标系如图：
设正方体棱长为1，则P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，

1

2

，

1

2

），设F（a，b，c），
所以

PB

=（1，1，-1），

EF

=（a，b-

1

2

，c-

1

2

），

PF

=（a，b，c-1），
由EF⊥PB，以及F在PB上，得

EF

•

PB

=0，并且

PF

=λ

PB

，
所以a+b-c=0并且a=b=1-c，解得a=b=

1

3

，c=

2

3

，
所以

PF

=（

1

3

，

1

3

，-

1

3

），所以

PF

=

1

3

PB

，
所以PF=

1

3

PB．

点评：本题考查了利用向量垂直和共线得到平面几何中线段关系，体现了向量的工具性．