Question

已知函数f（x）=sinx．若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：先将不等式转化成函数利用导数，讨论a，进而即可求出a的取值范围．

解答： 解：设g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，π]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[-1，

2

]．
当a≤-1时，g′（x）≥0在[0，π]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，
故a≤-1；
当a≥

2

时，g′（x）≤0在[0，π]上恒成立，g（x）=g（π）=2-πa≥0，得a≤

2

π

，无解．
当-1＜a＜

2

时，则存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）时，g（x）是增函数，x∈（x₀，π]时，g（x）是减函数，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（π），
∴

g(0)≥0 g(π)≥0

，解得：a≤

2

π

，
故-1＜a≤

2

π

．
综上所述：a≤

2

π

．
故答案为：a≤

2

π

．

点评：本题主要考察了导数的综合应用，三角函数的化简求值，考察了转化思想，属于中档题．