Question

5．在直角坐标xOy中，圆C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），并以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出C₁的极坐标方程，并将C₂化为普通方程；
（2）若直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），C₂与C₃相交于A，B两点，求△ABC₁的面积（C₁为圆C₁的圆心）．

Answer 1

分析 （1）圆C₁转化为${x}^{2}+{y}^{2}+2\sqrt{3}x-1=0$，由此能求出C₁的极坐标方程，曲线C₂的参数方程消去参数，能求出C₂的普通方程．
（2）求出直线C₃的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x$，由题意知C₂与C₃交于坐标原点，设A，O重合，分别求出|AB|=2，|AC₁|=$\sqrt{3}$，∠BAC₁=120°，由此能求出△ABC₁的面积．

解答 解：（1）∵圆C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，
即${x}^{2}+{y}^{2}+2\sqrt{3}x-1=0$，
∴C₁的极坐标方程为${ρ}^{2}+2\sqrt{3}ρcosθ-1=0$，
∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴C₂的普通方程为：（x-2）²+y²=4．
（2）∵直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），
∴直线C₃的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}x$，
由题意知C₂与C₃交于坐标原点，设A，O重合，
∴|AB|=2，|AC₁|=$\sqrt{3}$，∠BAC₁=120°，
∴△ABC₁的面积（C₁为圆C₁的圆心）：
${S}_{△AB{C}_{1}}=\frac{1}{2}|AB|×|A{C}_{1}|sin120$°=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查曲线的参数方程、普通方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．