Question

已知数列{a_n}的各项满足：a₁=1-3k（k∈R），a_n=4^n-1-3a_n-1
（1）判断数列{a_n-

4n

7

}是否为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}为递增数列，求k的取值范围．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=4^n-1-3a_n-1，当n≥2时，变形为a_n-

4n

7

=4n-1-3an-1-

4n

7

=-3(an-1-

4n-1

7

)，即可得出．
（2）由（1）当k≠

2

7

时，利用等比数列的通项公式即可得出；当k=

2

7

时，a₁=

1

7

，当n≥2时，a_n=

4n

7

．
（3）对n分奇偶讨论，解出a_n+1-a_n＞0即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=4^n-1-3a_n-1，
∴a_n-

4n

7

=4n-1-3an-1-

4n

7

=-3(an-1-

4n-1

7

)，
a1-

1

7

=

6

7

-3k，当k≠

2

7

时，数列{a_n-

4n

7

}是等比数列．
（2）由（1）当k≠

2

7

时，可得an-

4n

7

=(

6

7

-3k)•（-3）^n-1．
∴a_n=

4n

7

+(

6

7

-3k)•（-3）^n-1．
当k=

2

7

时，a₁=

1

7

，当n≥2时，a_n=

4n

7

．
（3）由（2）可知：当k=

2

7

时，a₁=

1

7

，当n≥2时，a_n=

4n

7

，数列{a_n}是单调递增数列．
当k≠

2

7

时，a_n+1-a_n=

4n+1

7

+(

6

7

-3k)•(-3)n-

4n

7

-(

6

7

-3k)•（-3）^n-1
=

3•4n

7

+(

6

7

-3k)•[(-3)n-(-3)n-1]＞0，
当n=2m-1（m∈N^*）时，上式化为k＞

1

7

[2-(

4

3

)n-1]，∴k＞

2

7

．
当n=2m（m∈N^*）时，上式化为k＜

1

7

[2+(

4

3

)n]，∴k＜

34

63

．
综上可得：k的取值范围是[

2

7

，

34

63

)．

点评：本题考查了等比数列的定义通项公式、数列单调性，考查了变形能力与分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．