Question

4．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，点A到x轴的距离等于|AF|-1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线AF与C交于另一点B，抛物线C分别在点A，B处的切线交于点P，D为y轴正半轴上一点，直线AD与C交于另一点E，且有|FA|=|FD|，N是线段AE的靠近点A的四等分点．
（i）证明点P在△NAB的外接圆上；
（ii）△NAB的外接圆周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的性质可知$\frac{p}{2}$=1，从而得出抛物线方程；
（2）（i）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），E（x₃，$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$），由三点共线可得x₂，x₃与x₁的关系，求出P，N的坐标，利用向量证明AP⊥BP，AN⊥BN，从而可得A，B，P，N四点共圆；
（ii）利用基本不等式求出外接圆的直径|AB|的最小值即可得出周长的最小值．

解答 解：（1）过A作AM⊥x轴，垂足为M，设抛物线的准线方程为：y=-$\frac{p}{2}$，
∴AF=AM+$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
∴抛物线C的方程为：x²=4y．
（2）（i）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
∵A，B，F（0，1）三点共线，∴$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}}=\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}}$，∴x₁x₂=-4，
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴切线AP的方程为：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），
切线BP的方程为：y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），
联立方程组可得P（$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$，-1），
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}+\frac{2}{{x}_{1}}$，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+1），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$，$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$+1），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}+\frac{2}{{x}_{1}}$）（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$）+（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+1）（$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$+1）=0，
∴∠BPA=90°．
∵|FD|=|FA|=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+1，∴D（0，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+2），
设E（x₃，$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$），由A，D，E三点共线得：$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-2}{{x}_{1}}=\frac{\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-2}{{x}_{3}}$，
∴x₃=-x₁-$\frac{8}{{x}_{1}}$，
∵N是AE的靠近A的四等分点，
∴N（-$\frac{2}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{2}$，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$+1），
∴$\overrightarrow{NA}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}$+$\frac{2}{{x}_{1}}$，-$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$-1），$\overrightarrow{NB}$=（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$，-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）．
∴$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=（$\frac{{x}_{1}}{2}$+$\frac{2}{{x}_{1}}$）（-$\frac{{x}_{1}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$）+（-$\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$-1）（-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）=0，
∴∠BNA=90°，
∴A，B，P，N四点共圆，
∴P在△ABN的外接圆上．
（ii）由（i）可知|AB|为△ABN的外接圆直径．
∵|AB|=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+2=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}+2$≥2•|$\frac{{x}_{1}}{2}$|•|$\frac{2}{{x}_{1}}$|+2=4．
当且仅当|$\frac{{x}_{1}}{2}$|=|$\frac{2}{{x}_{1}}$|即x₁=±1时，取等号．
∴当x₁=1或-1时，△ABN的外接圆周长最小，最小周长为4π．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．