Question

16．在△ABC中，P为BC中点，若（sinC）$\overrightarrow{AC}$+（sinA）$\overrightarrow{PA}$+（sinB）$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的形状为（　　）

• A． 直角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 等边三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，代入条件式整理，根据平面向量的基本定理可得$\overrightarrow{AB}$的系数均为0，得出sinA，sinB，sinC的关系．

解答 解：∵△ABC中，P为BC中点，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
（sinC）$\overrightarrow{AC}$+（sinA）$\overrightarrow{PA}$+（sinB）$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（sinC）•$\overrightarrow{AC}$+（sinA）•（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）+（sinB）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$，
即$\overrightarrow{AC}$（sinC-$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$sinB）+$\overrightarrow{AB}$（$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$sinA）=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{AB}$不共线，
∴sinC-$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$sinB=0，且$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$sinA=0，
∴sinA=sinB=sinC，
即A=B=C．
∴三角形ABC是等边三角形．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题目．