Question

2．已知二次函数f（x）=x²+bx+c，且f（-3）=f（1），f（0）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-（4+2a）x+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中f（-3）=f（1），f（0）=0，求出b，c的值，可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-（4+2a）x+2=x²-（2+2a）x+2的图象开口朝上，且以直线x=a+1为对称轴，由x∈[1，2]，对对称轴的位置进行分类讨论，可得函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=x²+bx+c，且f（-3）=f（1），f（0）=0．
∴c=0，且9-3b=1+b，
∴b=2，
∴函数f（x）=x²+2x …（4分）
（Ⅱ） g（x）=f（x）-（4+2a）x+2=x²-（2+2a）x+2的图象开口朝上，且以直线x=a+1为对称轴，
由x∈[1，2]，
①当a+1≤1时，即a≤0时，当x=1时，函数g（x）取最小值1-2a，当x=2时，函数g（x）取最大值2-4a；…（6分）
②当1＜a+1＜$\frac{3}{2}$时，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，当x=1+a时，函数g（x）取最小值-a²-2a+1，当x=2时，函数g（x）取最大值2-4a    …（8分）
③当a+1=$\frac{3}{2}$时，即a=$\frac{1}{2}$时，当x=$\frac{3}{2}$时，函数g（x）取最小值-$\frac{17}{4}$，当x=1，或x=2时，函数g（x）取最大值-2；
④当$\frac{3}{2}$＜a+1＜2时，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，当x=1+a时，函数g（x）取最小值-a²-2a+1，当x=1时，函数g（x）取最大值1-2a，…（10分）
⑤当a+1≥2时，即a≥1时，当x=2时，函数g（x）取最小值2-4a，当x=1时，函数g（x）取最大值1-2a．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．