Question

6．设变量X，Y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-1≤0}\end{array}\right.$，且目标函数Z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（1，b为正数）的最大值为1，则a+2b的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象得到a，b的方程，根据基本不等式的性质求出a+2b的最小值即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
由目标函数Z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a，b为正数）得：y=-$\frac{b}{a}$x+bz，-$\frac{b}{a}$＜0
平移直线y=-$\frac{b}{a}$x+bz，结合图象直线过A（1，1）时，
z最大，故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}$b，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1时“=”成立，
故选：D．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．