Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{{e}^{x}-5，x＞0}\end{array}\right.$若关于x的方程|f（x）|-ax-5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为{-e，-$\frac{5}{ln5}$，2，$\frac{5}{2}$}．

Answer 1

分析 作出y=|f（x）|的函数图象，根据直线y=ax+5与y=|f（x）|有3个交点得出两函数图象的关系，从而得出a的值．

解答 解：令f（x）=0得x=-2或x=ln5，
∵f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤-2}\\{4-{x}^{2}，-2＜x≤0}\\{5-{e}^{x}，0＜x＜ln5}\\{{e}^{x}-5，x＞ln5}\end{array}\right.$，
作出y=|f（x）|的函数图象如图所示：

∵关于x的方程|f（x）|-ax-5=0恰有三个不同的实数解，
∴直线y=ax+5与y=|f（x）|有3个交点，
∴y=ax+5过点（-2，0）或过点（ln5，0）或y=ax+5与y=|f（x）|的图象相切，
（1）若y=ax+5过点（-2，0），则a=$\frac{5}{2}$，
（2）若y=ax+5过点（ln5，0），则a=-$\frac{5}{ln5}$，
（3）若y=ax+5与y=|f（x）|在（-2，0）上的图象相切，设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{0}=a}\\{{y}_{0}=a{x}_{0}+5}\\{{y}_{0}=4-{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，
（4）若y=ax+5与y=|f（x）|在（0，ln5）上的图象相切，设切点为（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{-{e}^{{x}_{1}}=a}\\{{y}_{1}=a{x}_{1}+5}\\{{y}_{1}=5-{e}^{{x}_{1}}}\end{array}\right.$，解得a=-e，
∴a的取值集合为{-e，-$\frac{5}{ln5}$，2，$\frac{5}{2}$}．
故答案为{-e，-$\frac{5}{ln5}$，2，$\frac{5}{2}$}．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，数学结合法与分类讨论思想，属于中档题．