Question

17．对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定义$\overrightarrow{α}$○$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，若两个非零的平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），且$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，则$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$或1
• C． 1或$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由题意利用两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$的解析式，得到cos²θ=$\frac{mn}{4}$∈（0，$\frac{3}{4}$），可得整数m，n的值，从而求得$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$的值．

解答 解：由题意可得则$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}{{|\overrightarrow{b}|}^{2}}$cosθ=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$cosθ=$\frac{n}{2}$，同理可得$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$cosθ=$\frac{m}{2}$，m、n∈Z．
∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴cosθ∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴cos²θ=$\frac{mn}{4}$∈（0，$\frac{3}{4}$），根据$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，
∴m=1，n=2，或 m=2，n=1，或m=1，n=1，
∴$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=1 或$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到m、n∈z，且$\frac{mn}{4}$∈（0，$\frac{3}{4}$），是解题的关键，属于中档题．