Question

3．已知函数f（x）=x²-2x+2与函数$g（x）=-{x^2}+ax+b-\frac{1}{2}$的一个交点为P，以P为切点分别作函数f（x），g（x）的切线l₁，l₂，若l₁⊥l₂，则ab的最大值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先对两个二次函数进行求导，然后设交点坐标，根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到a+b=3，再由基本不等式可求得最大值．

解答 解：∵f（x）=x²-2x+2，∴f'（x）=2x-2，
∵g（x）=-x²+ax+b-$\frac{1}{2}$，∴g'（x）=-2x+a，
设交点为（x₀，y₀），
∵它们在一个交点处切线互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，即4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，①
由交点分别代入二次函数式，整理得，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0，即4x₀²-（4+2a）x₀+5-2b=0，②
由①②整理得 2a-1-5+2b=0，即a+b=3，（a＞0，b＞0）
∴ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{3}{2}$时取等号，
∴ab的最大值为$\frac{9}{4}$．
故答案为$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用导数的几何意义是解决本题的关键，一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”．综合性较强，运算量较大．