题目内容

17．已知函数f（x）=x3-x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．2

分析 欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（0，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答 解：求导函数，可得y′=3x2-1，
当x=0时，y′=-1，∴函数f（x）=x3-x+1，
则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y-1=-x，即x+y-1=0，
令x=0，可得y=1，令y=0，可得x=1，
∴函数f（x）=x3-x+1，
则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和直线的方程等基本知识．属于基础题．

练习册系列答案
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7．函数f（x）=$\frac{ln|x|}{x}$的图象大致为（　　）
A．B．
C．D．
8．已知函数f（x）=x2，g（x）=-1nx，g'（x）为g（x）的导函数．若存在直线l同为函数f（x）与g'（x）的切线，则直线l的斜率为（　　）
A．$2\sqrt{5}-4$B．2C．4D．$\frac{1}{2}$
5．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=a+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.（t$为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ-ρcos2θ-4cosθ=0．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$为定值的值．
12．已知过点A（0，1）的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，B为椭圆上的任意一点，且$\sqrt{3}$|BF1|，|F1F2|，$\sqrt{3}$|BF2|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．
2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．
9．已知复数$z=\frac{1-i}{i}$，则|z|=$\sqrt{2}$．
6．在△ABC中，a=2，b=3，c=4，则其最大内角的余弦值为-$\frac{1}{4}$．
7．在平面内，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=6$，动点P，M满足$|\overrightarrow{AP}|=2$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，则$|\overrightarrow{BM}{|^2}$的最大值是4．

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