题目内容
已知单位向量
，
，
两两所成的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠
），若空间向量
满足
=x
+y
+z
（x，y，z∈R），则有序实数对（x，y，z）称为向量
在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作
=（x，y，z）θ．有下列命题：
①已知
=（2，0，-1）θ，
=（1，0，2）θ，则
•
=0；
②已知
=(x，y，0)
，
=(0，0，z)
，其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量
•
的夹角取得最小值；
③已知
=（x1，y1，z1）θ，
=（x2，y2，z2）θ，则
-
=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)θ；
④已知
=(1，0，0)
，
=(0，1，0)
，
=(0，0，1)
，则三棱锥O-ABC体积为V=
．
其中真命题有 （填写真命题的所有序号）．
| i |
| j |
| k |
| π |
| 2 |
| a |
| a |
| i |
| j |
| k |
| a |
| a |
①已知
| a |
| b |
| a |
| b |
②已知
| a |
| π |
| 3 |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
③已知
| a |
| b |
| a |
| b |
④已知
| OA |
| π |
| 3 |
| OB |
| π |
| 3 |
| OC |
| π |
| 3 |
| ||
| 12 |
其中真命题有
考点：点、线、面间的距离计算
专题：新定义,空间位置关系与距离
分析：理解仿射坐标的概念，利用空间向量的共线定理及数量积运算即可求解．
解答：
解：①若
=（2，0，-1）
，
=（1，0，2）
，则
•
=（2
-
）•（
+2
）=2+3
•
-2=3cosθ，
∵0＜θ＜π，且θ≠
，∴
•
≠0；
②
=(x，y，0)
，
=(0，0，z)
，其中xyz≠0，向量
•
的夹角取得最小值，两向量同向
存在实数λ＞0，满足
=λ
，根据仿射坐标的定义，易知②为假命题；
③已知
=（x1，y1，z1）θ，
=（x2，y2，z2）θ，则
-
=（x1-x2）
+（y1-y2）
+（z1-z2）
，
∴
-
=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)θ；
④已知
=(1，0，0)
，
=(0，1，0)
，
=(0，0，1)
，则三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，∴体积为V=
．
故答案为：③④．
| a |
| o |
| b |
| o |
| a |
| b |
| i |
| k |
| i |
| k |
| i |
| k |
∵0＜θ＜π，且θ≠
| π |
| 2 |
| a |
| b |
②
| a |
| π |
| 3 |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
存在实数λ＞0，满足
| a |
| b |
③已知
| a |
| b |
| a |
| b |
| i |
| j |
| k |
∴
| a |
| b |
④已知
| OA |
| π |
| 3 |
| OB |
| π |
| 3 |
| OC |
| π |
| 3 |
| ||
| 12 |
故答案为：③④．
点评：本题主要考察了向量的相关概念，综合性较强，属于中档题．
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