Question

记S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：
S₁=

1

2

n2+

1

2

n，
S₂=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，
S₃=

1

4

n4+

1

2

n3+

1

4

n2，
S₄=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，
S₅=

1

6

n6+

1

2

n5+

5

12

n4+An2
，…
可以推测，A=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：常规题型

分析：本题属于归纳推理题，主要是观察各式的项数、次数、系数等规律，本题只须归纳出系数的规律即可．

解答： 解：记S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：
S₁=

1

2

n2+

1

2

n，可得：最高次项为2次，按n的降幂排列，奇次项系数

1

2

、偶次项系数

1

2

，

1

2

=

1

2

，相等；
S₂=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，可得：最高次项为3次，按n的降幂排列，奇次项系数和

1

3

+

1

6

=

1

2

，偶次项系数

1

2

，

1

2

=

1

2

，相等；
S₃=

1

4

n4+

1

2

n3+

1

4

n2，可得：最高次项为4次，按n的降幂排列，奇次项系数

1

3

、偶次项系数和

1

4

+

1

4

=

1

2

，

1

2

=

1

2

，相等；
S₄=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，可得：最高次项为5次，按n的降幂排列，奇次项系数和

1

5

+

1

3

-

1

30

=

1

2

，偶次项系数

1

2

，

1

5

+

1

3

-

1

30

=

1

2

，相等；
S₅=

1

6

n6+

1

2

n5+

5

12

n4+An2，可得：最高次项为6次，按n的降幂排列，奇次项和、偶次项系数和相等，均为

1

2

；
则有：

1

6

+

5

12

+A=

1

2

，A=-

1

12

．
故答案为：-

1

12

点评：本题考查的是归纳推理，要求能够从系数中找出规律，再对规律加以应用，解决新的问题，这反映了归纳推理的创造性．