Question

17．已知数列，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列；
（2）设数列b_n=$\frac{n+2}{（n+1）{a}_{n}}$，求证b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，则$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为公差等差数列；
（2）由（1）可知：a_n=n•2ⁿ，则b_n=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，采用“裂项法”即可求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1．

解答 证明：（1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，则$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为公差等差数列；
（2）由（1）可知：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，1为公差等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，则a_n=n•2ⁿ，
b_n=$\frac{n+2}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{2（n+1）-n}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，
b₁+b₂+b₃+…+b_n=（$\frac{1}{1•{2}^{0}}$-$\frac{1}{2•{2}^{1}}$）+（$\frac{1}{2•{2}^{1}}$-$\frac{1}{3•{2}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$）
=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1．

点评 本题考查等差数列证明，等差数列前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．