Question

已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左焦点，B（0，b），椭圆的离心率为

1

2

，D在x轴上，BD⊥BF，B，D，F三点确定的圆恰好与直线x+

3

y+3相切则椭圆的长轴长为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设F（-c，0），D（m，0）（m＞0），由两直线垂直的条件得到mc=b²，再由离心率公式，可设c=t，则a=2t，b=

3

t，m=3t，再由直线和圆相切的条件：d=r，列出方程，解出t，即可得到长轴长．

解答： 解：设F（-c，0），D（m，0）（m＞0），
则由于BD⊥BF，则

b

-m

•

b

c

=-1，即有mc=b²，
由于椭圆的离心率为

1

2

，即有

c

a

=

1

2

，
可设c=t，则a=2t，b=

3

t，m=3t，
则DF的中点为（

m-c

2

，0）即为（t，0），
则B，D，F确定的圆的圆心为（t，0），半径为

m+c

2

=2t，
由于直线x+

3

y+3与圆相切，则

|t+3|

1+3

=2t，
解得，t=1．
则a=2，即有2a=4．
故答案为：4

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆的位置关系：相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．