Question

13．如图，四棱锥C-ABB₁A₁内接于圆柱OO₁，且A₁A，B₁B都垂直于底面圆O，BC过底面圆心O，M，N分别是棱AA₁，CB₁的中点，MN⊥平面CBB₁．
（1）证明：MN∥平面ABC；
（2）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

Answer 1

分析 （1）连接AO，NO，推导出四边形AMNO是平行四边形，由此能证明MN∥平面ABC．
（2）设圆柱底面半径为r，高为h，则AB=AC=$\sqrt{2}$r，${V}_{C-A{BB}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{AB{B}_{1}{A}_{1}}$•AC，V_圆柱=S_△ABC•h，由此能求出四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OC₁的体积比．

解答 证明：（1）如图连接AO，NO，
由O、N分别是BC，B₁C的中点，则ON$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁…（1分）
在圆柱中BB₁⊥平面ABC，AA₁⊥平面ABC，则AA₁$\underset{∥}{=}$BB₁
又M是AA₁的中点，则ON$\underset{∥}{=}$AM，故四边形AMNO是平行四边形…（4分）
MN∥AO，又MN?平面ABC，AO?平面ABC，
故MN∥平面ABC…（6分）
解：（2）由题意MN⊥平面CBB₁，MN∥AO，
AO⊥平面CBB₁
又BC?平面CBB₁，则AO⊥BC，在Rt△BAC中，则AB=AC
在△ABC中，AC⊥AB，又AA₁⊥AC，则AC⊥平面ABB₁A₁…（8分）
设圆柱底面半径为r，高为h，则AB=AC=$\sqrt{2}$r，
${V}_{C-A{BB}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{AB{B}_{1}{A}_{1}}$•AC=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}r×h×\sqrt{2}r$=$\frac{2}{3}h{r}^{2}$，…（9分）
V_圆柱=S_△ABC•h=πr²•h=πhr²，…（10分）
$\frac{{V}_{C-AB{B}_{1}{A}_{1}}}{{V}_{圆柱}}$=$\frac{\frac{2}{3}h{r}^{2}}{πh{r}^{2}}$=$\frac{2}{3π}$．
故四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OC₁的体积比为2：3π．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查四棱锥与圆柱的体积比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．