Question

8．已知函数f（x）定义在实数集R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（-1），则a的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞]∪（-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由偶函数的性质将f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（-1），化为：f（log₂a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．

解答 解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
则f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（-1），为：f（log₂a）≤f（1），
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
所以|log₂a|≥1，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$或a≥2，
则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．