Question

12．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中直线BC₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，AD为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则B（1，1，0），C₁（0，1，1），D（0，0，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
设平面BB₁D₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设直线BC₁与平面BB₁D₁D所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直线BC₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．