Question

11．已知直线y=x+1与椭圆mx²+my²=1（m＞n＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于-$\frac{1}{3}$，则双曲线$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}$=1的离心率等于（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m+n）x²+2nx+n-1=0⇒x₁+x₂=$\frac{-2n}{m+n}=-\frac{2}{3}$⇒m=2n即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m+n）x²+2nx+n-1=0⇒x₁+x₂=$\frac{-2n}{m+n}=-\frac{2}{3}$⇒m=2n
双曲线$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}$=1的离心率e，e²=$1+\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}=\frac{5}{4}$⇒e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：C

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，及双曲线离心率，属于中档题．