Question

函数f（x）=[x]表示不超过x的最大整数，例如f（-3.5）=-4，f（2.1）=2．设函数g（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，则函数y=f[g（x）]+f[g（-x）]的值域为

 

．（用集合表示）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由题意知，f（x）是定义域R上的奇函数，且值域是（-，）；∴f（-x）的值域也是（-，）；
分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

解答： 解：由题意，f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

；
∴f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

=-f（x），
即f（x）是奇函数．
又∵2^x＞0，
∴1+2^x＞1，
∴0＜

1

1+2x

＜1，
∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
∴-

1

2

＜f（-x）＜

1

2

；
∴-

1

2

＜f（x）＜

1

2

；
当x=0时，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，则0＜f（x）＜

1

2

，-

1

2

＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，则y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函数y的值域为{0，-1}．
故答案为：{0，-1}．

点评：本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的题．