Question

有四个命题：
①函数y=

x

-1（x≥0）的反函数是y=（x-1）²（x≥-1）；
②函数f（x）=lnx+x-2的图象与x轴有两个交点；
③函数y=

9-x2

|x+4|+|x-3|

的图象关于y轴对称；
④若

1

e

＜x＜1，则（

1

2

）^lnx＞e^lnx＞lnx．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：①求出原函数的值域，解出x，然后将x换为y，y换为x，注明定义域，即可得到反函数；
②令y=lnx+x-2=0，分别画出y=lnx，y=2-x的图象，由图象观察即可；
③求出定义域，化简函数式，即可判断奇偶性，从而得到图象的对称性；
④由幂函数的单调性，判断前两个的大小，后两个可令y=lnx-x，通过求导数，求出最值，即可判断．

解答： 解：①函数y=

x

-1（x≥0）得到y≥-1．解出x=（y+1）²，则反函数为y=（x+1）²（x≥-1），即①错；
②令y=lnx+x-2=0，分别画出y=lnx，y=2-x的图象，
由图象可知只有一个交点，即②错；
③函数y=

9-x2

|x+4|+|x-3|

，首先9-x²≥0即-3≤x≤3，
|x+4|=x+4，|x-3|=3-x，函数化为y=

9-x2

7

，
显然有f（-x）=f（x），即为偶函数，故图象关于y轴对称，
即③正确；
④由于

1

e

＜x＜1，则-1＜lnx＜0，

1

2

＜e，由幂函数的单调性得
（

1

2

）^lnx＞e^lnx，
e^lnx=x，令y=lnx-x，则y′=

1

x

-1，得到x＞1，函数递减，0＜x＜1，函数递增，
即x=1函数取极大值，也是最大值，则y≤-1，即lnx＜x成立．即④对．
故答案为：③④

点评：本题考查函数的性质及应用，考查函数的单调性、奇偶性及运用，考查函数的零点问题，及反函数等，属于基础题．