Question

15．已知c＞0，设命题p：函数y=c^x为减函数，命题q：当x∈[${\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立．如果命题p与命题q中有且只有一个命题为真命题，试求c的取值范围．

Answer 1

分析 根据指数函数的图象和性质，可求出命题p真时c的范围，根据对勾函数的图象和性质，可求出命题q真时c的范围，再由p，q一真一假，可得c的取值范围．

解答 解：若命题p：函数y=c^x为减函数为真，
则c∈（0，1），
x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$∈[2，$\frac{5}{2}$]
若命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立为真，
则2＞$\frac{1}{c}$，则c∈（$\frac{1}{2}$，+∞），
若p真q假，则c∈（0，$\frac{1}{2}$]，
若p假q真，则c∈[1，+∞），
故c的取值范围是：（0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）

点评 根据指数函数的图象和性质，可求出命题p真是c的范围，根据对勾函数的图象和性质，可求出命题q真是c的范围，再由p，q一真一假，可得c的取值范围．