Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，且短半轴b=1，F₁，F₂为其左右焦点，P是椭圆上动点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求

PF1

•

PF2

取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，且短半轴b=1，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆方程．
（Ⅱ）用坐标表示向量，再利用数量积公式，即可求

PF1

•

PF2

取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，且短半轴b=1，
∴

c

a

=

a2-1

a

=

2

2

，∴a=

2

，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设P（x，y），则
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴

PF1

=（-1-x，-y），

PF2

=（1-x，-y），
∴

PF1

•

PF2

=x²-1+y²=

x2

2

∈[0，+∞）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查余弦定理的运用，考查向量数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．