Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n-

2

3

．
（Ⅰ）求a_n+3；   
（Ⅱ）证明：?n∈N^*，有

n

i=1

1

ai

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n-

2

3

⇒2S_n-1=（n-1）a_n-

1

3

（n-1）³-（n-1）-

2

3

（n≥2），两式相减，整理可得

an+1

n+1

-

an

n

=1（n≥2），继而可求得

a2

2

-

a1

1

=2-1=1，也符合上式，
从而可得数列{

an

n

}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求得a_n=n²，从而可求得a_n+3； 
（Ⅱ）利用

1

an

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），即可证得：?n∈N^*，有

n

i=1

1

ai

＜

7

4

．

解答： （Ⅰ）解：∵2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n-

2

3

，
∴2S_n-1=（n-1）a_n-

1

3

（n-1）³-（n-1）-

2

3

（n≥2）．
两式相减得：2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-

1

3

（3n²-3n+1）-（2n-1）-

2

3

，
整理得：（n+1）a_n=na_n+1-n（n+1），
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1（n≥2），
又2S₁=a₂-

1

3

-1-

2

3

=2，
解得a₂=4，∴

a2

2

-

a1

1

=2-1=1，也符合上式，
∴数列{

an

n

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

an

n

=1+（n-1）×1=n．
∴a_n=n²，
∴a_n+3=（n+3）²；
（Ⅱ）证明：∵a_n=n²，
∴

1

an

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≤1+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

＜

5

4

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=

5

4

+

1

2

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

点评：本题主要考查数列递推公式的应用，根据递推数列结合等差数列的定义求出通项公式，利用放缩法是证明不等式的基本方法，属于难题．