Question

20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

Answer 1

分析 设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为（8-2x）cm，宽为（5-2x）cm，高为xcm，运用长方体的体积公式可得无盖的小盒子的容积，求得导数和单调区间，可得极大值，即为最大值，以及最大值点．

解答 解：设小正方形的边长为xcm，
则盒子底面长为（8-2x）cm，宽为（5-2x）cm，
可得体积V=（8-2x）（5-2x）x=4x³-26x²+40x，（0＜x＜$\frac{5}{2}$），
V′=12x²-52x+40，令V′=0，
可得x=1或x=$\frac{10}{3}$（舍去），
当0＜x＜1时，导数V′＞0，函数V递增；
当1＜x＜$\frac{5}{2}$时，导数V′＜0，函数V递减．
可得函数V在x=1处取得极大值，且为最大值18．
即小正方形边长为1cm时，盒子容积最大为18cm³．

点评 本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出体积的函数式和导数是解题的关键，属于中档题．