Question

9．已知函数f（x）=log_a（a-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求该函数的定义域和值域；
（2）判断该函数的单调性．

Answer 1

分析 （1）令a-a^x＞0，分0＜a＜1和a＞1讨论，可得函数的定义域，进而求出真数的范围，可得函数的值域；
（2）根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，分析内外函数的单调性，可得绪论；

解答 解：（1）令a-a^x＞0，则a＞a^x，
当0＜a＜1时，解得：x＞1，
即函数的定义域为（1，+∞）；
则t=a-a^x∈（0，a），
故函数的值域为（1，+∞）；
当a＞1时，解得：x＜1，
即函数的定义域为（-∞，1）；
则t=a-a^x∈（0，a），
故函数的值域为（-∞，1）；
综上可得：当0＜a＜1时，函数的定义域、值域均为（1，+∞）；
当a＞1时，函数的定义域、值域均为（-∞，1）
（2）当0＜a＜1时，
∴t=a-a^x为增函数，
∴函数f（x）=log_a（a-a^x）为减函数，
当a＞1时，
∴t=a-a^x为减函数，
∴函数f（x）=log_a（a-a^x）为减函数，
综上可得：函数f（x）=log_a（a-a^x）在其定义域上为减函数．

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，指数函数和对数函数的图象和性质，难度中档．