Question

12．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）求点A的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）过点A且斜率为1的直线1与曲线C交于B、D两点，求|BD|的值．

Answer 1

分析 （1）由由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A的直角坐标；运用同角的平方关系cos²α+sin²α=1，可得曲线C的普通方程；
（2）求得曲线C为圆心（3，4），半径为5的圆，以及直线l的一般式方程，可得圆心到直线的距离，再由弦长公式|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）点A的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：
A的直角坐标为（2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$，2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$），即为（2，2）；
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
由cos²α+sin²α=1，可得曲线C的普通方程为（x-3）²+（y-4）²=25；
（2）由（1）可得曲线C为圆心（3，4），半径为5的圆，
过点A（2，2）且斜率为1的直线1的方程为y-2=x-2，即为x-y=0，
可得圆心C（3，4）到直线x-y=0的距离为d=$\frac{|3-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有弦长|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{1}{2}}$=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，属于基础题．