Question

10．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），利用cos²t+sin²t=1消去参数可得普通方程，即可得出表示的曲线．C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数可得普通方程，即可得出表示的曲线．
（2）当t=$\frac{π}{2}$时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ）．利用中点坐标公式可得线段PQ中点M$（-2+4cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，C₃为直线x-2y-7=0，利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性、和差公式即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t为参数），
消去参数可得：（x+4）²+（y-3）²=1，
因此C₁是以（-4，3）为圆心，半径是1的圆．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数可得：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
因此C₂为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（2）当t=$\frac{π}{2}$时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ）．
∴线段PQ中点M$（-2+4cosθ，2+\frac{3}{2}sinθ）$，
C₃为直线x-2y-7=0，
M到C₃的距离d=$\frac{|-2+4cosθ-4-3sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}|5sin（θ-φ）+13|}{5}$，
从而当cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$时，
d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查参数方程与普通方程的转化、点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力，属于中档题．