Question

15．直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AA₁=AB=1，点O₁、O分别是上下底菱形对角线的交点．
（1）求证：A₁O∥平面CB₁D₁；
（2）求点O到平面CB₁D₁的距离．

Answer 1

分析 （1）连结OA₁和CO₁，证明四边形A₁O₁CO为平行四边形，可得A₁O∥O₁C，利用线面平行的判定定理证明A₁O∥平面CB₁D₁；
（2）先证明出平面CB₁D₁⊥平面O₁OC，利用等面积求点O到平面CB₁D₁的距离．

解答 证明：（1）连结OA₁和CO₁，
在四边形OCO₁A₁中，OC∥A₁O₁且A₁O₁=OC，
∴四边形A₁O₁CO为平行四边形，
∴A₁O∥O₁C
又O₁C?平面CB₁D₁，A₁O?平面CB₁D₁，
∴A₁O∥平面CB₁D₁；
解：（2）由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，可得B₁D₁⊥平面O₁OC，
∵B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴平面CB₁D₁⊥平面O₁OC，
设点O到平面CB₁D₁的距离为h，则△O₁OC中，OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O₁O=1，
∴O₁C=$\sqrt{\frac{3}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
由等面积可得h=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴点O到平面CB₁D₁的距离为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．